Найдите четырёхзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и ровно три из них являются чётными. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число кратно 45, значит, оно делится на 5 и на 9. По признаку делимости на 5 число должно оканчиваться на 0 или 5. 1. Случай 1. Последняя цифра 0 (чётная). Значит, среди первых трёх цифр должны быть две чётные и одна нечётная. По признаку делимости на 9 сумма всех цифр должна делиться на 9. Пусть нечётная цифра равна 1. Тогда сумма двух оставшихся чётных цифр должна быть равна: 9 - 1 - 0 = 8 . Подберём две различные чётные цифры, отличные от 0, сумма которых равна 8. Это цифры 2 и 6. Получаем набор цифр: 0; 1; 2; 6 . Составим из них четырёхзначное число, оканчивающееся на 0, например, 1260. Проверим число 1260: оканчивается на 0 (делится на 5), сумма цифр 1 + 2 + 6 + 0 = 9 (делится на 9). Ровно 3 чётные цифры (0, 2, 6). Все цифры различны. 2. Случай 2. Последняя цифра 5 (нечётная). Тогда первые три цифры должны быть чётными. Сумма трёх чётных цифр всегда является чётным числом. Следовательно, общая сумма четырёх цифр будет нечётной (сумма чётного числа и нечётной цифры 5). Однако по признаку делимости на 9 сумма цифр должна делиться на 9 (то есть быть равной 9, 18, 27 или 36). Поскольку сумма цифр нечётная, она может равняться только 9 или 27. - Если сумма цифр равна 9, то сумма трёх чётных цифр должна равняться 9 - 5 = 4 . Но минимальная сумма трёх различных чётных цифр равна 0 + 2 + 4 = 6 , что больше 4. - Если сумма цифр равна 27, то сумма трёх чётных цифр должна равняться 27 - 5 = 22 . Но максимальная сумма трёх различных чётных цифр равна 8 + 6 + 4 = 18 , что меньше 22. Следовательно, чисел, оканчивающихся на 5 и удовлетворяющих условию задачи, не существует. Таким образом, одно из подходящих чисел — 1260. Ответ: 1260.

1260