Задача №15927

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=55$ и $AD=103\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

1. Рассмотрим прямоугольник $ABCD\text{.}$ По свойствам прямоугольника противоположные стороны равны: $BC=AD=103$ и $CD=AB=55\text{.}$

2. Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ Угол $\angle B=90^{\circ }\text{,}$ так как $ABCD$ — прямоугольник. По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }\text{,}$ следовательно:
$\angle AEB=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$

3. Поскольку в треугольнике $ABE$ два угла равны ($\angle EAB=\angle AEB=45^{\circ }$), этот треугольник является равнобедренным. Значит, его катеты равны:
$BE=AB=55\text{.}$

4. Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{.}$ Найдём длину отрезка $EC\text{:}$
$EC=BC-BE=103-55=48\text{.}$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ ($\angle C=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём гипотенузу $ED\text{:}$

Отсюда получаем:

Ответ: 73