Задача №15922

Вычеркните в числе $76345709$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $22\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $22$ тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на $2$ и на $11\text{.}$

1. Признак делимости на $2\text{:}$ число должно быть чётным, то есть заканчиваться на чётную цифру.

Исходное число: $76345709\text{.}$ Оно заканчивается на $9\text{.}$ Чтобы итоговое число было чётным, цифру $9$ необходимо вычеркнуть (так как следующие за ней цифры отсутствуют). Если мы вычеркнем $9\text{,}$ число будет оканчиваться на $0\text{,}$ что удовлетворяет признаку делимости на $2\text{.}$

2. Признак делимости на $11\text{:}$ разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, должна делиться на $11$ (быть равной $0\text{,}$ $11\text{,}$ $-11$ и т. д.).

После вычеркивания цифры $9$ у нас осталось число $7634570\text{.}$ Нам нужно вычеркнуть ещё две цифры, чтобы осталось пятизначное число $d_1{d}_2{d}_3{d}_{4}0\text{.}$ Условие делимости на $11$ для такого числа:

Рассмотрим оставшиеся цифры в порядке их следования: $7\text{,}$ $6\text{,}$ $3\text{,}$ $4\text{,}$ $5\text{,}$ $7\text{.}$

Попробуем выбрать из них четыре цифры так, чтобы условие выполнялось:
Если оставить цифры $7,6,3,4\text{,}$ то число будет $76340\text{.}$

Проверим разность: $(7+3+0)-(6+4)=10-10=0\text{.}$ Число $0$ делится на $11\text{.}$ Значит, число $76340$ делится на $11\text{.}$

Проверим общее условие: $76340:22=3470\text{.}$ Условие выполнено.

Для получения числа $76340$ из $76345709$ были вычеркнуты цифры $5,7$ и $9$ (всего три цифры).

Другие возможные варианты: $76450$ (вычеркнуты $3,7,9$) или $64570$ (вычеркнуты $7,3,9$).

Ответ: $76340$