Задача №15915

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ $BC=15\text{,}$ $\cos A=0,2\text{.}$ Найдите высоту $CH\text{.}$

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C\text{.}$ Высота $CH$ проведена из вершины прямого угла к гипотенузе $AB\text{.}$

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника $ABC$ равна $90^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle A+\angle B=90^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BCH$ (где $\angle CHB=90^{\circ }$) сумма острых углов также равна $90^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle BCH+\angle B=90^{\circ }\text{.}$ Следовательно, $\angle BCH=\angle A\text{.}$

3. В прямоугольном треугольнике $BCH$ косинус угла $BCH$ равен отношению прилежащего катета $CH$ к гипотенузе $BC\text{:}$

Так как $\angle BCH=\angle A\text{,}$ то $\cos \angle BCH=\cos A=0,2\text{.}$ Выразим высоту $CH\text{:}$

4. Подставим значения $BC=15$ и $\cos A=0,2\text{:}$

Ответ: 3