Задача №15907

Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $N\text{,}$ а натуральное число равно $m\text{.}$ По условию $N=\frac{m^4}{4}\text{,}$ или $m^4=4N\text{.}$

Так как $N$ — целое число, то $m^4$ должно делиться на 4. Это возможно, если $m$ чётное. Пусть $m=2k\text{,}$ где $k$ — натуральное число. Тогда

и

Искомое число $N$ четырёхзначное, то есть

Разделим все части неравенства на 4:

Так как $k^4$ — целое число, то $250⩽k^4⩽2499\text{.}$

Подберём натуральные значения $k\text{:}$

1. $k=1\text{:}$ $k^4=1\text{,}$ $N=4$ — не подходит.
2. $k=2\text{:}$ $k^4=16\text{,}$ $N=64$ — не подходит.
3. $k=3\text{:}$ $k^4=81\text{,}$ $N=324$ — не подходит.
4. $k=4\text{:}$ $k^4=256\text{,}$ $N=1024$ — подходит.
5. $k=5\text{:}$ $k^4=625\text{,}$ $N=2500$ — подходит.
6. $k=6\text{:}$ $k^4=1296\text{,}$ $N=5184$ — подходит.
7. $k=7\text{:}$ $k^4=2401\text{,}$ $N=9604$ — подходит.
8. $k=8\text{:}$ $k^4=4096\text{,}$ $N=16384$ — не подходит (пятизначное число).

Таким образом, искомыми числами являются 1024, 2500, 5184, 9604. В ответ можно указать любое из них.

Ответ: 1024