Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно N , а натуральное число равно m . По условию N = (m^4)/(4) , или m^4 = 4N . Так как N — целое число, то m^4 должно делиться на 4. Это возможно, если m чётное. Пусть m = 2k , где k — натуральное число. Тогда m^4 = (2k)^4 = 16k^4 и N = (16k^4)/(4) = 4k^4. Искомое число N четырёхзначное, то есть 1000 4k^4 9999. Разделим все части неравенства на 4: 250 k^4 2499,75. Так как k^4 — целое число, то 250 k^4 2499 . Подберём натуральные значения k : 1. k = 1 : k^4 = 1 , N = 4 — не подходит. 2. k = 2 : k^4 = 16 , N = 64 — не подходит. 3. k = 3 : k^4 = 81 , N = 324 — не подходит. 4. k = 4 : k^4 = 256 , N = 1024 — подходит. 5. k = 5 : k^4 = 625 , N = 2500 — подходит. 6. k = 6 : k^4 = 1296 , N = 5184 — подходит. 7. k = 7 : k^4 = 2401 , N = 9604 — подходит. 8. k = 8 : k^4 = 4096 , N = 16384 — не подходит (пятизначное число). Таким образом, искомыми числами являются 1024, 2500, 5184, 9604. В ответ можно указать любое из них. Ответ: 1024

1024