Задача №15811

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD\text{,}$ диагонали которого $AC$ и $BD$ являются биссектрисами его углов.

Так как $AC$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то $\angle BAC=\angle CAD\text{.}$

Поскольку $AB\parallel CD$ (противоположные стороны параллелограмма параллельны), углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC\text{.}$ Следовательно, $\angle CAD=\angle ACB\text{.}$

Таким образом, $\angle BAC=\angle ACB\text{,}$ поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ откуда $AB=BC\text{.}$

Аналогично, рассматривая другие углы (например, с диагональю $BD$ или углы $B$ и $D$), можно показать, что все стороны параллелограмма равны. Значит, $ABCD$ — ромб.

Ответ: ромб.