Задача №14540

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 8 прыжков?

Пусть кузнечик сделал $k$ прыжков вправо и $m$ прыжков влево.

По условию задачи общее количество прыжков равно 8, то есть:

Конечная координата кузнечика $x$ вычисляется как разность количества прыжков вправо и влево:

Выразим $m$ из первого уравнения: $m=8-k\text{.}$ Подставим это выражение в формулу для координаты:

Так как общее количество прыжков $k+m=8\text{,}$ то количество прыжков вправо $k$ может принимать любые целые значения от 0 до 8 включительно.

Рассмотрим все возможные значения $x$ при различных $k\text{:}$

1. $k=0\Rightarrow x=2\cdot 0-8=-8$
2. $k=1\Rightarrow x=2\cdot 1-8=-6$
3. $k=2\Rightarrow x=2\cdot 2-8=-4$
4. $k=3\Rightarrow x=2\cdot 3-8=-2$
5. $k=4\Rightarrow x=2\cdot 4-8=0$
6. $k=5\Rightarrow x=2\cdot 5-8=2$
7. $k=6\Rightarrow x=2\cdot 6-8=4$
8. $k=7\Rightarrow x=2\cdot 7-8=6$
9. $k=8\Rightarrow x=2\cdot 8-8=8$

Таким образом, кузнечик может оказаться в любой из точек с чётными координатами в диапазоне от $-8$ до $8\text{.}$ Количество таких точек равно 9.

Ответ: 9