Задача №14536

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 27 и 33. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Пусть длины сторон прямоугольников, образующих разбиение, равны:

• $x_1$ и $x_2$ — длины горизонтальных сторон левого и правого прямоугольников соответственно;
• $y_1$ и $y_2$ — длины вертикальных сторон верхнего и нижнего прямоугольников соответственно.

Тогда площади прямоугольников по часовой стрелке, начиная с левого верхнего, выражаются следующими формулами:

• Левый верхний прямоугольник: $S_1=x_1\cdot y_1=18\text{;}$
• Правый верхний прямоугольник: $S_2=x_2\cdot y_1=27\text{;}$
• Правый нижний прямоугольник: $S_3=x_2\cdot y_2=33\text{;}$
• Левый нижний прямоугольник: $S_4=x_1\cdot y_2\text{.}$

Заметим, что отношение площадей прямоугольников в левом столбце равно отношению их вертикальных сторон:

Отношение площадей прямоугольников в правом столбце также равно отношению их вертикальных сторон:

Следовательно, выполняется равенство:

Подставим известные числовые значения:

Выразим и вычислим площадь четвёртого прямоугольника:

Ответ: 22.