Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

Эту задачу удобно решить с помощью теории графов. Пусть страны будут вершинами графа, а договоры между ними — рёбрами. Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер (так как каждое ребро соединяет две вершины и учитывается в сумме дважды). 1. Найдём сумму степеней вершин для первых четырёх стран: каждая из них имеет по 4 договора, значит, сумма степеней равна 4 * 4 = 16 . 2. Найдём сумму степеней вершин для оставшихся шести стран: каждая из них имеет по 3 договора, значит, сумма степеней равна 6 * 3 = 18 . 3. Вычислим общую сумму степеней всех 10 вершин: 16 + 18 = 34 . 4. Так как эта сумма равна удвоенному количеству договоров, разделим её на 2: 34 : 2 = 17 . Таким образом, всего было подписано 17 договоров. Ответ: 17

17