Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

Эту задачу удобно решить с помощью теории графов. Пусть страны — это вершины графа, а договоры между ними — рёбра. По условию: 1. У 2 стран по 6 договоров (степень вершин равна 6 ). 2. У 8 стран по 5 договоров (степень вершин равна 5 ). Найдём сумму степеней всех вершин графа S : S = 2 * 6 + 8 * 5 = 12 + 40 = 52 Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер. Каждый договор соединяет две страны, поэтому в общей сумме он был учтён дважды. Следовательно, общее количество договоров равно: 52 : 2 = 26 Ответ: 26

26