Задача №14518

Про натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось 429. Какое число было загадано?

Пусть $x$ — загаданное натуральное число. Согласно условию задачи, можно составить следующее уравнение:

где $A,B,C$ — натуральные числа, каждое из которых больше 6, но меньше 10. Таким образом, $A,B,C\in \{7;8;9\}\text{.}$

Преобразуем уравнение, чтобы выразить произведение $A\cdot x\text{:}$

Так как числа $B$ и $C$ принимают значения 7, 8 или 9, разность $C-B$ может принимать значения от $7-9=-2$ до $9-7=2\text{.}$ Следовательно, значение выражения $A\cdot x$ должно находиться в интервале $[427;431]\text{,}$ то есть в множестве $\{427;428;429;430;431\}\text{.}$

Проверим делимость чисел этого множества на возможные значения $A\text{:}$

1. Если $A=7\text{:}$

• $427:7=61$ — целое число.
• $428:7\approx 61,14$
• $429:7\approx 61,29$
• $430:7\approx 61,43$
• $431:7\approx 61,57$

При $A=7$ и $x=61$ получаем уравнение $7\cdot 61=429+C-B\text{,}$ откуда $427=429+C-B\text{,}$ то есть $B-C=2\text{.}$ Это возможно, если $B=9\text{,}$ $C=7\text{.}$ Все условия (натуральность и диапазон) соблюдены.

2. Если $A=8\text{:}$
Ни одно число из диапазона $[427;431]$ не делится на 8 без остатка (ближайшие кратные 8 — это 424 и 432).

3. Если $A=9\text{:}$
Ни одно число из диапазона $[427;431]$ не делится на 9 без остатка (сумма цифр для 427 равна 13, для 428 — 14, для 429 — 15, для 430 — 7, для 431 — 8).

Таким образом, единственное натуральное число, которое могло быть загадано, — это 61.

Ответ: 61