Задача №14510

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — $496\text{,}$ номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Пусть $k$ — количество выпавших листов. Каждый лист состоит из двух страниц, значит, всего выпало $2k$ страниц.

Номер последней страницы перед выпавшими листами — $496\text{.}$ Следовательно, первая выпавшая страница имеет номер $497\text{.}$

Пусть $N$ — номер первой страницы после выпавших листов. Тогда последняя выпавшая страница имеет номер $N-1\text{.}$ Количество выпавших страниц вычисляется по формуле:

Это количество должно быть чётным (равным $2k$), поэтому разность $N-497$ — чётное число. Отсюда следует, что $N$ должно быть нечётным числом. Кроме того, по условию $N>496\text{.}$

Число $N$ записывается теми же цифрами, что и $496$ (цифры $4,9,6$), но в другом порядке. Все возможные перестановки этих цифр:
$469,496,649,694,946,964\text{.}$

Отфильтруем числа, не удовлетворяющие условиям $N>496$ и $N$ — нечётное:
1. $469$ — меньше $496\text{.}$
2. $496$ — совпадает с исходным числом.
3. $649$ — больше $496$ и нечётное (подходит).
4. $694,946,964$ — чётные (не подходят).

Таким образом, $N=649\text{.}$ Найдём количество выпавших страниц:

Следовательно, количество листов $k$ равно:

Ответ: 76