В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах с 6-й по 14-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?
Пусть a_i — количество человек в квартире i , где i = 1, 2, , 14 , и 1 a_i 3 . Из условия задачи составим уравнения: a_1 + a_2 + + a_9 = 12 1 a_6 + a_7 + + a_(14) = 22 2 Обозначим суммы жильцов в группах квартир: A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 (квартиры 1–5); B = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 (квартиры 6–9); C = a_(10) + a_(11) + a_(12) + a_(13) + a_(14) (квартиры 10–14). Тогда уравнение (1) примет вид A + B = 12 , а уравнение (2) примет вид B + C = 22 . Общее количество человек в доме равно S = A + B + C . Выразим A и C через B : A = 12 - B, C = 22 - B. Тогда суммарное количество человек выражается формулой: S = (12 - B) + B + (22 - B) = 34 - B. Найдём возможные значения B . Так как в каждой из четырёх квартир этой группы (6, 7, 8, 9) живёт от 1 до 3 человек, то 4 * 1 B 4 * 3 , то есть 4 B 12 . Учтём ограничения на количество жильцов в других группах квартир: Группа A состоит из 5 квартир, значит, 5 * 1 A 5 * 3 , то есть 5 12 - B 15 . Это неравенство даёт нам -3 B 7 . С учётом того, что B 4 , получаем 4 B 7 . Группа C также состоит из 5 квартир, значит, 5 * 1 C 5 * 3 , то есть 5 22 - B 15 . Это неравенство даёт нам 7 B 17 . С учётом того, что B 12 , получаем 7 B 12 . Пересечение условий 4 B 7 и 7 B 12 даёт единственное возможное значение B = 7 . Вычислим общее количество человек: S = 34 - 7 = 27. Проверим возможность такого распределения: если B = 7 , то A = 5 и C = 15 . Например, в каждой квартире групп A живёт по 1 человеку, в квартирах группы B живут 1, 2, 2 и 2 человека, а в каждой квартире группы C живёт по 3 человека. Условия задачи соблюдены. Ответ: 27
27