Задача №14500

В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах с 6-й по 14-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Пусть $a_i$ — количество человек в квартире $i\text{,}$ где $i=1,2,\dots ,14\text{,}$ и $1⩽a_i⩽3\text{.}$

Из условия задачи составим уравнения:

Обозначим суммы жильцов в группах квартир:

• $A=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ (квартиры 1–5);
• $B=a_6+a_7+a_8+a_9$ (квартиры 6–9);
• $C=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}$ (квартиры 10–14).

Тогда уравнение (1) примет вид $A+B=12\text{,}$ а уравнение (2) примет вид $B+C=22\text{.}$

Общее количество человек в доме равно $S=A+B+C\text{.}$ Выразим $A$ и $C$ через $B\text{:}$

Тогда суммарное количество человек выражается формулой:

Найдём возможные значения $B\text{.}$ Так как в каждой из четырёх квартир этой группы (6, 7, 8, 9) живёт от 1 до 3 человек, то $4\cdot 1⩽B⩽4\cdot 3\text{,}$ то есть $4⩽B⩽12\text{.}$

Учтём ограничения на количество жильцов в других группах квартир:

1. Группа $A$ состоит из 5 квартир, значит, $5\cdot 1⩽A⩽5\cdot 3\text{,}$ то есть $5⩽12-B⩽15\text{.}$ Это неравенство даёт нам $-3⩽B⩽7\text{.}$ С учётом того, что $B⩾4\text{,}$ получаем $4⩽B⩽7\text{.}$

2. Группа $C$ также состоит из 5 квартир, значит, $5\cdot 1⩽C⩽5\cdot 3\text{,}$ то есть $5⩽22-B⩽15\text{.}$ Это неравенство даёт нам $7⩽B⩽17\text{.}$ С учётом того, что $B⩽12\text{,}$ получаем $7⩽B⩽12\text{.}$

Пересечение условий $4⩽B⩽7$ и $7⩽B⩽12$ даёт единственное возможное значение $B=7\text{.}$

Вычислим общее количество человек:

Проверим возможность такого распределения: если $B=7\text{,}$ то $A=5$ и $C=15\text{.}$ Например, в каждой квартире групп $A$ живёт по 1 человеку, в квартирах группы $B$ живут 1, 2, 2 и 2 человека, а в каждой квартире группы $C$ живёт по 3 человека. Условия задачи соблюдены.

Ответ: 27