Задача №14498

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий сыграл Лёша?

Пусть всего сыграно $N$ партий. В каждой партии участвуют два игрока, поэтому сумма сыгранных партий всех игроков равна $2N\text{.}$ Обозначим количество партий Лёши за $L\text{.}$ Тогда

Также в каждой партии отдыхает ровно один игрок, поэтому сумма партий, когда игроки отдыхали, равна $N\text{:}$

Это уравнение приводится к тому же виду. Из первого уравнения $L=2N-34\text{.}$ Учитывая, что Коля сыграл 23 партии, минимальное возможное $N$ равно 23. При $N=23$ получаем $L=2\times 23-34=12\text{.}$ Этот случай реализуем, если Коля играет каждую партию, а Миша и Лёша чередуются. Таким образом, Лёша сыграл 12 партий.

Ответ: 12