Задача №14487

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 2 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть $\alpha$ — наименьший угол, $\beta$ — средний угол, а $\gamma$ — наибольший угол. По условию задачи все углы выражаются целыми числами и являются разными, то есть $\alpha <\beta <\gamma \text{.}$

Так как три луча выходят из одной точки, сумма образованных ими углов равна $360^{\circ }\text{:}$

Известно, что наибольший угол в 2 раза больше наименьшего: $\gamma =2\alpha \text{.}$ Подставим это выражение в уравнение суммы:

Используем условие $\alpha <\beta <\gamma$ и подставим в него выражения через $\alpha \text{:}$

Разложим двойное неравенство на систему:

1. $\alpha <360^{\circ }-3\alpha \Rightarrow 4\alpha <360^{\circ }\Rightarrow \alpha <90^{\circ }\text{.}$
2. $360^{\circ }-3\alpha <2\alpha \Rightarrow 360^{\circ }<5\alpha \Rightarrow \alpha >72^{\circ }\text{.}$

Таким образом, для наименьшего угла получаем ограничение: $72^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\text{.}$ Поскольку углы измеряются целым числом градусов, $\alpha$ может принимать значения из множества $\{73^{\circ };74^{\circ };75^{\circ };\dots ;89^{\circ }\}\text{.}$

Количество возможных значений $\alpha$ равно:

Так как величина среднего угла $\beta$ однозначно определяется значением $\alpha$ по формуле $\beta =360^{\circ }-3\alpha \text{,}$ каждому допустимому целому значению $\alpha$ соответствует ровно одно целое значение $\beta \text{.}$ Все эти значения $\beta$ будут различными, так как зависимость линейная.

Следовательно, величина среднего угла может принимать 17 различных значений.

Ответ: 17