Задача №14482

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $124\text{,}$ во втором — $132\text{,}$ в третьем — $142\text{,}$ а сумма чисел в каждой строке больше $27\text{,}$ но меньше $30\text{.}$ Сколько всего строк в таблице?

1. Найдём общую сумму всех чисел в таблице. Она равна сумме чисел во всех столбцах:

2. Пусть $n$ — количество строк в таблице, а $r_i$ — сумма чисел в $i$-й строке. По условию $27<r_i<30\text{.}$ Так как в клетки вписаны натуральные числа, сумма в каждой строке также является натуральным числом. Следовательно, $r_i$ может принимать значения $28$ или $29\text{.}$

3. Общая сумма всех чисел также равна сумме сумм всех строк:

4. Так как каждая строка имеет сумму не менее $28$ и не более $29\text{,}$ можно составить двойное неравенство для общей суммы:

5. Решим каждое неравенство относительно $n\text{:}$

• Из $28n⩽398$ получаем: $n⩽\frac{398}{28}=14\frac{6}{28}\approx 14,21\text{.}$
• Из $29n⩾398$ получаем: $n⩾\frac{398}{29}=13\frac{21}{29}\approx 13,72\text{.}$

6. Единственным целым числом, удовлетворяющим условию $13,72⩽n⩽14,21\text{,}$ является $n=14\text{.}$

7. Проверим возможность такого распределения: если $x$ — количество строк с суммой $29\text{,}$ а $14-x$ — количество строк с суммой $28\text{,}$ то:

Следовательно, в таблице $6$ строк с суммой $29$ и $8$ строк с суммой $28\text{,}$ что полностью соответствует условию.

Ответ: $14$