Задача №14480

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно $9$ прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Пусть $R$ — количество прыжков вправо, а $L$ — количество прыжков влево. По условию общее количество прыжков равно $9\text{:}$

Конечная координата $X$ кузнечика на прямой определяется разностью количества прыжков вправо и влево:

Выразим $L$ из первого уравнения: $L=9-R\text{.}$ Подставим это выражение в формулу для координаты:

Поскольку количество прыжков вправо $R$ может быть любым целым числом от $0$ до $9$ включительно, найдём все возможные значения $X\text{:}$

1. Если $R=0\text{,}$ то $X=2\cdot 0-9=-9\text{.}$
2. Если $R=1\text{,}$ то $X=2\cdot 1-9=-7\text{.}$
3. Если $R=2\text{,}$ то $X=2\cdot 2-9=-5\text{.}$
4. Если $R=3\text{,}$ то $X=2\cdot 3-9=-3\text{.}$
5. Если $R=4\text{,}$ то $X=2\cdot 4-9=-1\text{.}$
6. Если $R=5\text{,}$ то $X=2\cdot 5-9=1\text{.}$
7. Если $R=6\text{,}$ то $X=2\cdot 6-9=3\text{.}$
8. Если $R=7\text{,}$ то $X=2\cdot 7-9=5\text{.}$
9. Если $R=8\text{,}$ то $X=2\cdot 8-9=7\text{.}$
10. Если $R=9\text{,}$ то $X=2\cdot 9-9=9\text{.}$

Заметим, что после нечётного количества прыжков ($9$) кузнечик всегда оказывается в точке с нечётной координатой. В интервале от $-9$ до $9$ включительно ровно $10$ нечётных целых чисел. Каждому значению $R$ от $0$ до $9$ соответствует своя уникальная точка.

Таким образом, кузнечик может оказаться в $10$ различных точках.

Ответ: 10