Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Задачи повышенной сложности
ФИПИ
Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Пусть величины трёх углов, на которые лучи разбивают плоскость, равны α, β и γ. Упорядочим их по возрастанию: α<β<γ.
По условию задачи:
1. Сумма углов, образующих полную плоскость, равна 360∘:
α+β+γ=3602. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего:
γ=5α3. Все углы являются целыми числами и различны.
Подставим выражение для γ в уравнение суммы углов:
α+β+5α=360⇒6α+β=360⇒β=360−6αТак как углы должны удовлетворять условию α<β<γ, запишем систему неравенств для α:
{α<360−6α360−6α<5αРешим каждое неравенство:
1. α<360−6α⇒7α<360⇒α<7360≈51,43
2. 360−6α<5α⇒360<11α⇒α>11360≈32,73
Таким образом, целое число α может принимать значения от 33 до 51 включительно.
Для каждого целого значения α из этого диапазона величина среднего угла β=360−6α будет также целым числом. Поскольку зависимость β от α линейная, каждому значению α соответствует ровно одно уникальное значение β.
Найдём количество таких значений:
51−33+1=19Ответ: 19.