Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть величины трёх углов, на которые лучи разбивают плоскость, равны alpha , beta и gamma . Упорядочим их по возрастанию: alpha < beta < gamma . По условию задачи: 1. Сумма углов, образующих полную плоскость, равна 360^ : alpha + beta + gamma = 360 2. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего: gamma = 5alpha 3. Все углы являются целыми числами и различны. Подставим выражение для gamma в уравнение суммы углов: alpha + beta + 5alpha = 360 => 6alpha + beta = 360 => beta = 360 - 6alpha Так как углы должны удовлетворять условию alpha < beta < gamma , запишем систему неравенств для alpha : cases alpha < 360 - 6alpha 360 - 6alpha < 5alpha cases Решим каждое неравенство: 1. alpha < 360 - 6alpha => 7alpha < 360 => alpha < (360)/(7) ~ 51,43 2. 360 - 6alpha < 5alpha => 360 < 11alpha => alpha > (360)/(11) ~ 32,73 Таким образом, целое число alpha может принимать значения от 33 до 51 включительно. Для каждого целого значения alpha из этого диапазона величина среднего угла beta = 360 - 6alpha будет также целым числом. Поскольку зависимость beta от alpha линейная, каждому значению alpha соответствует ровно одно уникальное значение beta . Найдём количество таких значений: 51 - 33 + 1 = 19 Ответ: 19.

19