Задача №14465

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную;
• за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть Николай совершил $x$ операций первого типа (за 4 золотых получает 5 серебряных и 1 медную) и $y$ операций второго типа (за 7 серебряных получает 5 золотых и 1 медную).

Поскольку в итоге золотых монет у него не появилось, количество полученных золотых монет (из второй операции) равно количеству отданных золотых (в первой операции):

$$5y=4x.$$

Медных монет появилось 45, и каждая операция даёт одну медную монету:

$$x+y=45.$$

Решаем систему уравнений. Из второго уравнения $x=45-y\text{.}$ Подставляем в первое:

$$5y=4(45-y)\Rightarrow 5y=180-4y\Rightarrow 9y=180\Rightarrow y=20.$$

Тогда $x=45-20=25\text{.}$

Теперь найдём изменение количества серебряных монет. В первой операции Николай получает 5 серебряных за каждую операцию, во второй отдаёт 7 серебряных за каждую операцию. Общее изменение:

$$\Delta S=5x-7y=5\cdot 25-7\cdot 20=125-140=-15.$$

Значит, количество серебряных монет уменьшилось на 15.

Ответ: 15