Задача №14456

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $137\text{,}$ во втором — $160\text{,}$ в третьем — $185\text{,}$ а сумма чисел в каждой строке больше $24\text{,}$ но меньше $27\text{.}$ Сколько всего строк в таблице?

1. Вычислим общую сумму всех чисел в таблице. Так как сумма чисел в первом столбце равна $137\text{,}$ во втором — $160\text{,}$ а в третьем — $185\text{,}$ то общая сумма всех чисел составляет:

2. Пусть $n$ — общее количество строк в таблице. Сумма чисел в каждой строке (обозначим её как $S_i$) по условию больше $24\text{,}$ но меньше $27\text{.}$ Так как в клетки вписаны натуральные числа, сумма в каждой строке также должна быть натуральным числом. Следовательно, $S_i$ может принимать только два значения: $25$ или $26\text{.}$

3. Пусть $x$ — количество строк, сумма чисел в которых равна $25\text{,}$ а $y$ — количество строк, сумма чисел в которых равна $26\text{.}$ Тогда общее число строк $n=x+y\text{,}$ а общая сумма всех чисел равна:

4. Выразим $x$ через $n$ и $y\text{:}$ $x=n-y\text{.}$ Подставим в уравнение суммы:

5. Поскольку $x\ge 0$ и $y\ge 0\text{,}$ из уравнения $25n+y=482$ следует, что $25n\le 482\text{,}$ то есть $n\le \frac{482}{25}=19,28\text{.}$

6. С другой стороны, так как $y=n-x\text{,}$ подставим это в основное уравнение:

Так как $x\ge 0\text{,}$ то $26n\ge 482\text{,}$ откуда $n\ge \frac{482}{26}\approx 18,53\text{.}$

7. Единственное целое число в интервале $18,53\le n\le 19,28$ — это $n=19\text{.}$

8. Проверим решение: если $n=19\text{,}$ то $y=482-25\cdot 19=482-475=7\text{.}$ Тогда $x=19-7=12\text{.}$ Оба значения $x$ и $y$ являются неотрицательными целыми числами, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 19.