Задача №14433

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 17, 15 и 18. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Обозначим ширину левого и правого столбцов прямоугольников как $x_1$ и $x_2$ соответственно, а высоту верхней и нижней строк — как $y_1$ и $y_2$ соответственно.

Тогда стороны четырёх прямоугольников равны:

• Левый верхний: $x_1$ и $y_1\text{;}$
• Правый верхний: $x_2$ и $y_1\text{;}$
• Правый нижний: $x_2$ и $y_2\text{;}$
• Левый нижний: $x_1$ и $y_2\text{.}$

Запишем формулы для периметров трёх известных прямоугольников (по часовой стрелке, начиная с левого верхнего):

Нам необходимо найти периметр четвёртого (левого нижнего) прямоугольника:

Заметим, что сумма полупериметров левого верхнего и правого нижнего прямоугольников равна:

Сумма полупериметров правого верхнего и левого нижнего прямоугольников также равна:

Таким образом, суммы периметров противоположных прямоугольников равны:

Подставим известные значения:

Ответ: 20.