Задача №14432

В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более четырёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 14-ю включительно живёт суммарно 12 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Пусть $x_i$ — количество жильцов в квартире с номером $i\text{.}$ По условию в каждой квартире живёт не менее одного и не более четырёх человек, то есть $1⩽x_i⩽4$ для всех $i$ от 1 до 14.

1. Рассмотрим суммарное количество жильцов в квартирах с 1-й по 12-ю:

Так как в каждой квартире живёт минимум один человек, сумма жильцов в первых десяти квартирах не может быть меньше 10: $x_1+x_2+\cdots +x_{10}⩾10\text{.}$

Следовательно, на 11-ю и 12-ю квартиры приходится:

2. Рассмотрим суммарное количество жильцов в квартирах с 11-й по 14-ю:

Выразим отсюда сумму жильцов в последних двух квартирах:

Так как мы выяснили, что $x_{11}+x_{12}⩽4\text{,}$ то:

3. По условию в каждой из квартир 13 и 14 живёт не более 4 человек, значит:

4. Из двух полученных неравенств ($x_{13}+x_{14}⩾8$ и $x_{13}+x_{14}⩽8$) следует, что в 13-й и 14-й квартирах суммарно живёт ровно 8 человек:

5. Общее количество жильцов в доме — это сумма жильцов в квартирах 1–12 и в квартирах 13–14:

Ответ: 22