Задача №14431

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 114 квартир?

Пусть $P$ — число подъездов в доме, $E$ — число этажей в каждом подъезде, а $K$ — число квартир на каждом этаже.

По условию задачи общее количество квартир в доме равно 114. Это число можно выразить формулой:

Также из условия известны следующие ограничения:
1. Число этажей больше числа квартир на этаже: $E>K\text{.}$
2. Число квартир на этаже больше числа подъездов: $K>P\text{.}$
3. Число подъездов больше одного: $P>1\text{.}$

Объединяя эти условия, получаем цепочку неравенств:

Разложим число 114 на простые множители:

Число 114 представлено как произведение трёх простых чисел: 2, 3 и 19. Поскольку по условию каждый из множителей (число подъездов, этажей и квартир на этаже) должен быть целым числом больше 1, а произведение этих трёх величин равно $2\cdot 3\cdot 19\text{,}$ то значениями переменных $P,K,E$ могут быть только эти простые множители (любая попытка объединить два множителя в один приведёт к тому, что третий множитель станет равен 1, что запрещено условием $P>1$).

Распределим множители 2, 3 и 19 в порядке возрастания согласно условию $P<K<E\text{:}$

$P=2$

$K=3$

$E=19$

Проверим условия:

• Число подъездов $P=2$ (больше 1).
• Число квартир на этаже $K=3$ (больше числа подъездов).
• Число этажей $E=19$ (больше числа квартир на этаже).
• Общее количество квартир: $2\cdot 19\cdot 3=114\text{.}$

Все условия выполнены. Число этажей в доме равно 19.

Ответ: 19