Задача №14420

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 21, 11 и 4. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Двумя разрезами (один вертикальный, один горизонтальный) большой прямоугольник делится на четыре. Обозначим ширину левого столбца $a\text{,}$ ширину правого столбца $b\text{,}$ высоту верхней строки $c$ и высоту нижней строки $d\text{.}$

Тогда периметры четырёх прямоугольников равны:

1. левый верхний: $2(a+c)\text{;}$
2. правый верхний: $2(b+c)\text{;}$
3. правый нижний: $2(b+d)\text{;}$
4. левый нижний: $2(a+d)\text{.}$

Сумма периметров двух прямоугольников, расположенных по диагонали, в обоих случаях даёт одно и то же:

Значит, сумма периметров левого верхнего и правого нижнего равна сумме периметров правого верхнего и левого нижнего.

По условию периметры левого верхнего, правого верхнего и правого нижнего (по часовой стрелке) равны $21\text{,}$ $11$ и $4\text{,}$ а искомый — левый нижний. Обозначив его $P\text{,}$ получаем:

откуда

Ответ: 14.