Задача №14415

На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Пусть длина ленты равна $L$ см. Обозначим расстояние от левого конца до красной полоски за $x$ см, до синей полоски — за $y$ см.

При разрезании по красной полоске разность длин частей равна 35 см, поэтому

При разрезании по синей полоске разность длин частей равна 5 см, поэтому

Также по условию полоски находятся по разные стороны от середины ленты, то есть $x$ и $y$ расположены по разные стороны от точки $\frac{L}{2}\text{.}$ Это значит, что выражения $x-\frac{L}{2}$ и $y-\frac{L}{2}$ имеют разные знаки.

Из уравнения (1) получаем два возможных значения для $x\text{:}$

Из уравнения (2) получаем два возможных значения для $y\text{:}$

Рассмотрим все возможные пары $(x;y)\text{:}$

1. $x=\frac{L-35}{2}\text{,}$ $y=\frac{L-5}{2}\text{:}$ обе точки меньше $\frac{L}{2}\text{,}$ не подходят.
2. $x=\frac{L-35}{2}\text{,}$ $y=\frac{L+5}{2}\text{:}$ здесь $x<\frac{L}{2}\text{,}$ а $y>\frac{L}{2}\text{,}$ подходит.
3. $x=\frac{L+35}{2}\text{,}$ $y=\frac{L-5}{2}\text{:}$ здесь $x>\frac{L}{2}\text{,}$ а $y<\frac{L}{2}\text{,}$ подходит.
4. $x=\frac{L+35}{2}\text{,}$ $y=\frac{L+5}{2}\text{:}$ обе точки больше $\frac{L}{2}\text{,}$ не подходят.

Вычислим расстояние между полосками $|x-y|$ в подходящих случаях.

Для пары 2:

Для пары 3:

В обоих случаях расстояние равно 20 см.

Ответ: 20.