Задача №14413

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — $298\text{,}$ номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Пусть выпало $L$ листов. Поскольку каждый лист содержит две страницы, выпало $2L$ страниц.

Номер последней страницы перед выпавшими листами — $298\text{.}$ Значит, первая выпавшая страница имеет номер $299\text{,}$ а последняя выпавшая страница имеет номер $298+2L\text{.}$ Следовательно, первая страница после выпавших листов имеет номер $N=298+2L+1=299+2L\text{.}$

По условию, номер $N$ записывается теми же цифрами, что и число $298$ (цифры $2,8,9$), но в другом порядке. Поскольку $N>298\text{,}$ рассмотрим все числа, составленные из цифр $2,8,9$ и бо́льшие $298\text{:}$ $829,892,928,982\text{.}$

Для каждого из этих чисел проверим, может ли оно быть равно $299+2L$ для целого $L\text{.}$ Выразим $L\text{:}$

1. Если $N=829\text{,}$ то $L=\frac{829-299}{2}=\frac{530}{2}=265$ — целое число.
2. Если $N=892\text{,}$ то $L=\frac{892-299}{2}=\frac{593}{2}=296,5$ — не целое.
3. Если $N=928\text{,}$ то $L=\frac{928-299}{2}=\frac{629}{2}=314,5$ — не целое.
4. Если $N=982\text{,}$ то $L=\frac{982-299}{2}=\frac{683}{2}=341,5$ — не целое.

Таким образом, единственный подходящий вариант — $N=829\text{,}$ откуда $L=265\text{.}$

Проверка: выпало $265$ листов, то есть $530$ страниц. Страницы с $299$ по $828$ выпали, а страница $829$ следует за ними. Число $829$ действительно состоит из цифр $2,8,9\text{.}$

Ответ: 265