Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 3 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Пусть углы, образованные тремя лучами, измеряются целыми числами градусов. Обозначим наименьший угол через a , средний — через b , наибольший — через c , причём a < b < c . По условию наибольший угол в 3 раза больше наименьшего: c = 3a . Сумма всех углов вокруг точки равна 360^ : a + b + c = 360 Подставляем c = 3a : a + b + 3a = 360 => 4a + b = 360 => b = 360 - 4a Углы разные, поэтому должны выполняться неравенства a < b и b < c : Условие a < b : a < 360 - 4a => 5a < 360 => a < 72 Условие b < c : 360 - 4a < 3a => 360 < 7a => a > (360)/(7) ~ 51,4285 Поскольку a — целое число, отсюда a 52 . Таким образом, a — целое число, удовлетворяющее неравенству 52 a < 72 , то есть a может принимать значения от 52 до 71 включительно. Для каждого такого a средний угол b = 360 - 4a однозначно определён и является целым числом. Из неравенств выше следует, что a < b < 3a , поэтому b действительно является средним углом. Количество возможных значений a вычисляется как: 71 - 52 + 1 = 20 Следовательно, средний угол b может принимать 20 различных значений. Ответ: 20
20