Задача №14407

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на $3$ разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в $3$ раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть углы, образованные тремя лучами, измеряются целыми числами градусов. Обозначим наименьший угол через $a\text{,}$ средний — через $b\text{,}$ наибольший — через $c\text{,}$ причём $a<b<c\text{.}$

По условию наибольший угол в $3$ раза больше наименьшего: $c=3a\text{.}$

Сумма всех углов вокруг точки равна $360^{\circ }\text{:}$

Подставляем $c=3a\text{:}$

Углы разные, поэтому должны выполняться неравенства $a<b$ и $b<c\text{:}$

1. Условие $a<b\text{:}$

2. Условие $b<c\text{:}$

Поскольку $a$ — целое число, отсюда $a⩾52\text{.}$

Таким образом, $a$ — целое число, удовлетворяющее неравенству $52⩽a<72\text{,}$ то есть $a$ может принимать значения от $52$ до $71$ включительно.

Для каждого такого $a$ средний угол $b=360-4a$ однозначно определён и является целым числом. Из неравенств выше следует, что $a<b<3a\text{,}$ поэтому $b$ действительно является средним углом.

Количество возможных значений $a$ вычисляется как:

Следовательно, средний угол $b$ может принимать $20$ различных значений.

Ответ: 20