Задача №14402

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 70 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Пусть середина ленты находится в точке $O\text{.}$ Обозначим расстояние от середины до красной полоски как $a\text{ см}\text{,}$ а от середины до синей полоски как $b\text{ см}\text{.}$ Поскольку полоски находятся по разные стороны от середины, одна из них расположена слева, а другая — справа. Без потери общности будем считать, что красная полоска слева, а синяя — справа.

Тогда красная полоска находится на расстоянии $a$ слева от середины, а синяя — на расстоянии $b$ справа от середины.

Обозначим длину всей ленты за $L\text{.}$ Тогда красная полоска находится в точке $\frac{L}{2}-a\text{,}$ а синяя — в точке $\frac{L}{2}+b\text{.}$

1. Если разрезать ленту по красной полоске, то левая часть имеет длину $\frac{L}{2}-a\text{,}$ а правая часть — $L-\left(\frac{L}{2}-a\right)=\frac{L}{2}+a\text{.}$

Разность длин частей составляет:

По условию одна часть на 30 см длиннее другой, поэтому:

2. Если разрезать ленту по синей полоске, то левая часть имеет длину $\frac{L}{2}+b\text{,}$ а правая часть — $L-\left(\frac{L}{2}+b\right)=\frac{L}{2}-b\text{.}$

Разность длин частей составляет:

По условию одна часть на 70 см длиннее другой, поэтому:

Расстояние между красной и синей полосками равно:

Ответ: 50