Задача №14379

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $77\text{,}$ во втором — $125\text{,}$ в третьем — $175\text{,}$ а сумма чисел в каждой строке больше $22\text{,}$ но меньше $25\text{.}$ Сколько всего строк в таблице?

1. Найдем общую сумму всех чисел в таблице. Так как сумма чисел в первом столбце равна $77\text{,}$ во втором — $125\text{,}$ а в третьем — $175\text{,}$ то общая сумма $S$ равна:

2. Пусть $n$ — количество строк в таблице. По условию сумма чисел в каждой строке $S_i$ — натуральное число (так как в клетки вписаны натуральные числа), причём $22<S_i<25\text{.}$ Следовательно, возможные значения суммы в строке — это $23$ или $24\text{.}$

3. Сумма всех строк должна быть равна общей сумме чисел в таблице. Таким образом:

Подставим $S=377\text{:}$

4. Решим эти неравенства относительно $n\text{:}$

• Из первого неравенства: $n⩽\frac{377}{23}\approx 16,39\text{.}$
• Из второго неравенства: $n⩾\frac{377}{24}\approx 15,71\text{.}$

5. Единственным целым числом, удовлетворяющим обоим условиям ($15,71⩽n⩽16,39$), является $n=16\text{.}$

Проверим возможность существования такой таблицы: если $x$ строк имеют сумму $23\text{,}$ а $y$ строк — сумму $24\text{,}$ то:

Решение в целых числах существует, значит, в таблице $16$ строк.

Ответ: 16