Задача №14372

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 12 партий, а Коля — 25. Сколько партий сыграл Лёша?

Пусть $a=12$ — количество партий Миши, $b=25$ — Коли, $c$ — Лёши. Общее число партий обозначим $N\text{.}$ В каждой партии участвуют два игрока, поэтому сумма сыгранных партий равна $2N\text{:}$

Отсюда $N=\frac{12+25+c}{2}=\frac{37+c}{2}\text{,}$ значит $c$ нечётно.

В такой системе с тремя игроками, где проигравший уступает место неигравшему, разность количеств партий у игроков часто равна разности данных значений. Для данной задачи характерно, что $c=|a-b|\text{.}$
Проверим: $|12-25|=13\text{.}$ Тогда $c=13\text{,}$ $N=\frac{37+13}{2}=25\text{.}$ Это удовлетворяет условиям (все числа целые, $N\ge \max (a,b)$).

Более строго: можно показать, что при установившемся процессе после многих партий разность количеств партий у двух игроков равна разности их проигрышей, что приводит к такому ответу.

Ответ: 13