Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Пусть величины трёх углов в градусах равны alpha заменено на α, β и γ. По условию плоскость разбита на три разных угла, то есть их величины не равны между собой. Упорядочим их по возрастанию: α<β<γ.
Так как углы образуются при разбиении плоскости тремя лучами, выходящими из одной точки, их сумма составляет 360∘:
α+β+γ=360По условию наибольший угол в 4 раза больше наименьшего:
γ=4αПодставим это выражение в уравнение суммы углов:
α+β+4α=360⇒5α+β=360Выразим величину среднего угла β:
β=360−5αПоскольку мы приняли, что α<β<γ, подставим выражения для β и γ в это двойное неравенство:
α<360−5α<4αРешим полученную систему неравенств:
1. α<360−5α:
6α<360⇒α<602. 360−5α<4α:
360<9α⇒α>40Таким образом, величина наименьшего угла α должна удовлетворять условию 40<α<60. Так как по условию углы измеряются целым числом градусов, α может принимать значения из множества {41;42;…;59}.
Количество возможных значений α равно:
59−41+1=19Каждому целому значению α соответствует ровно одно целое значение среднего угла β. При этом все значения β будут различны, так как функция β(α)=360−5α является монотонно убывающей.
Ответ: 19
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Задачи повышенной сложности
ФИПИ