Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Пусть величины трёх углов в градусах равны alpha заменено на alpha , beta и gamma . По условию плоскость разбита на три разных угла, то есть их величины не равны между собой. Упорядочим их по возрастанию: alpha < beta < gamma . Так как углы образуются при разбиении плоскости тремя лучами, выходящими из одной точки, их сумма составляет 360^ : alpha + beta + gamma = 360 По условию наибольший угол в 4 раза больше наименьшего: gamma = 4alpha Подставим это выражение в уравнение суммы углов: alpha + beta + 4alpha = 360 => 5alpha + beta = 360 Выразим величину среднего угла beta : beta = 360 - 5alpha Поскольку мы приняли, что alpha < beta < gamma , подставим выражения для beta и gamma в это двойное неравенство: alpha < 360 - 5alpha < 4alpha Решим полученную систему неравенств: alpha < 360 - 5alpha : 6alpha < 360 => alpha < 60 360 - 5alpha < 4alpha : 360 < 9alpha => alpha > 40 Таким образом, величина наименьшего угла alpha должна удовлетворять условию 40 < alpha < 60 . Так как по условию углы измеряются целым числом градусов, alpha может принимать значения из множества 41; 42; ; 59 . Количество возможных значений alpha равно: 59 - 41 + 1 = 19 Каждому целому значению alpha соответствует ровно одно целое значение среднего угла beta . При этом все значения beta будут различны, так как функция beta(alpha) = 360 - 5alpha является монотонно убывающей. Ответ: 19
19