Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 65 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x — количество правильных ответов, y — неправильных, z — без ответа. Всего вопросов: x + y + z = 36. Очки: за правильные 5x, за неправильные -12y, за без ответа 0. Итого: 5x - 12y = 65. Известно, что y 1. Выразим x: 5x = 65 + 12y, x = (65 + 12y)/(5). Так как x целое, 65 + 12y должно делиться на 5. 65 делится на 5, значит, 12y должно делиться на 5. Так как 12 и 5 взаимно просты, y должно быть кратно 5. Пробуем y = 5: x = (65 + 12* 5)/(5) = (65 + 60)/(5) = (125)/(5) = 25. Тогда z = 36 - x - y = 36 - 25 - 5 = 6. Все неотрицательные, условие y 1 выполнено. Проверим y = 10: x = (65 + 120)/(5) = (185)/(5) = 37, тогда x + y = 47 > 36, не подходит. Значит, x = 25. Ответ: 25

\(25\)