Задача №14363

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 65 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — количество правильных ответов, $y$ — неправильных, $z$ — без ответа.

Всего вопросов:

Очки: за правильные $5x\text{,}$ за неправильные $-12y\text{,}$ за без ответа $0\text{.}$ Итого:

Известно, что $y⩾1\text{.}$

Выразим $x\text{:}$

Так как $x$ целое, $65+12y$ должно делиться на $5\text{.}$

$65$ делится на $5\text{,}$ значит, $12y$ должно делиться на $5\text{.}$ Так как $12$ и $5$ взаимно просты, $y$ должно быть кратно $5\text{.}$

Пробуем $y=5\text{:}$

Тогда $z=36-x-y=36-25-5=6\text{.}$ Все неотрицательные, условие $y⩾1$ выполнено.

Проверим $y=10\text{:}$

тогда $x+y=47>36\text{,}$ не подходит.

Значит, $x=25\text{.}$

Ответ: 25