Задача №14357

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно $7$ прыжков?

Пусть $k$ — количество прыжков, сделанных кузнечиком вправо. Тогда количество прыжков, сделанных влево, равно $7-k\text{.}$ Координата $X\text{,}$ в которой кузнечик окажется после $7$ прыжков, вычисляется как разность между количеством прыжков вправо и влево:

Переменная $k$ может принимать любое целое значение от $0$ до $7$ включительно, так как кузнечик может сделать от нуля до семи прыжков вправо. Каждому значению $k$ соответствует ровно одна конечная точка на координатной прямой:

1. Если $k=0\text{,}$ то $X=-7\text{;}$
2. Если $k=1\text{,}$ то $X=-5\text{;}$
3. Если $k=2\text{,}$ то $X=-3\text{;}$
4. Если $k=3\text{,}$ то $X=-1\text{;}$
5. Если $k=4\text{,}$ то $X=1\text{;}$
6. Если $k=5\text{,}$ то $X=3\text{;}$
7. Если $k=6\text{,}$ то $X=5\text{;}$
8. Если $k=7\text{,}$ то $X=7\text{.}$

Все полученные значения координаты $X$ различны. Таким образом, количество возможных точек равно количеству возможных значений $k\text{,}$ то есть 8.

Ответ: 8