Задача №14355

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 13 партий, а Коля — 27. Сколько партий сыграл Лёша?

Пусть $N$ — общее количество сыгранных партий. В каждой партии участвуют 2 игрока, а один остаётся в запасе. Согласно правилам, проигравший уступает место третьему игроку. Это означает, что ни один из участников не может пропускать две партии подряд.

Пусть игрок сыграл $n$ партий и пропустил $s$ партий. Тогда общее число партий $N=n+s\text{.}$ Так как игрок не может пропускать две игры подряд, максимальное количество пропущенных им партий не может превышать $\lceil \frac{N}{2}\rceil \text{.}$ Следовательно, минимальное количество партий, в которых игрок обязан был участвовать:

Из условия задачи известно:
1. Миша сыграл $M=13$ партий.
2. Коля сыграл $K=27$ партий.

Так как Коля сыграл 27 партий, то всего партий было не меньше 27 ($N⩾27$). Из условия для Миши имеем: $13⩾\lfloor \frac{N}{2}\rfloor \text{.}$ Это неравенство верно только при $N⩽27$ (если $N=28\text{,}$ то $\lfloor \frac{28}{2}\rfloor =14\text{,}$ что больше 13).

Таким образом, общее количество партий равно $N=27\text{.}$

Общее количество игровых мест во всех партиях равно $2N=2\cdot 27=54\text{.}$ Это число складывается из партий, сыгранных каждым участником по отдельности. Пусть $L$ — количество партий, которые сыграл Лёша. Тогда:

Ответ: 14