Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 6 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Пусть величины трёх углов в градусах равны α, β и γ. По условию задачи эти величины являются различными целыми числами. Упорядочим их так, что α<β<γ. Тогда α — наименьший угол, β — средний, а γ — наибольший.
Так как лучи выходят из одной точки и разбивают плоскость, сумма этих углов равна 360∘:
α+β+γ=360∘
По условию наибольший угол в 6 раз больше наименьшего:
γ=6α
Подставим это выражение в уравнение суммы:
α+β+6α=360∘⇒7α+β=360∘⇒β=360∘−7αТак как все углы должны быть различными и упорядочены как α<β<γ, составим систему неравенств для нахождения возможных значений α:
1. Условие α<β:
α<360−7α⇒8α<360⇒α<452. Условие β<γ:
360−7α<6α⇒360<13α⇒α>13360≈27,69Поскольку α — целое число, оно может принимать значения из множества {28;29;30;…;44}.
Количество возможных значений для α равно:
44−28+1=17Так как средний угол β однозначно определяется величиной α по формуле β=360−7α, и для каждого различного α получится своё уникальное значение β, то количество возможных значений среднего угла также равно 17.
Ответ: 17.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Задачи повышенной сложности
ФИПИ