Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 6 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть величины трёх углов в градусах равны alpha , beta и gamma . По условию задачи эти величины являются различными целыми числами. Упорядочим их так, что alpha < beta < gamma . Тогда alpha — наименьший угол, beta — средний, а gamma — наибольший. Так как лучи выходят из одной точки и разбивают плоскость, сумма этих углов равна 360^ : alpha + beta + gamma = 360^ По условию наибольший угол в 6 раз больше наименьшего: gamma = 6alpha Подставим это выражение в уравнение суммы: alpha + beta + 6alpha = 360^ => 7alpha + beta = 360^ => beta = 360^ - 7alpha Так как все углы должны быть различными и упорядочены как alpha < beta < gamma , составим систему неравенств для нахождения возможных значений alpha : 1. Условие alpha < beta : alpha < 360 - 7alpha => 8alpha < 360 => alpha < 45 2. Условие beta < gamma : 360 - 7alpha < 6alpha => 360 < 13alpha => alpha > (360)/(13) ~ 27,69 Поскольку alpha — целое число, оно может принимать значения из множества 28; 29; 30; ; 44 . Количество возможных значений для alpha равно: 44 - 28 + 1 = 17 Так как средний угол beta однозначно определяется величиной alpha по формуле beta = 360 - 7alpha , и для каждого различного alpha получится своё уникальное значение beta , то количество возможных значений среднего угла также равно 17. Ответ: 17.

17