Задача №14328

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий сыграл Лёша?

Пусть $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ — количество партий, сыгранных Мишей, Колей и Лёшей соответственно. По условию, $a=11\text{,}$ $b=23\text{,}$ $c$ — неизвестно.

Обозначим через $N$ общее количество партий. В каждой партии участвуют два игрока, поэтому сумма сыгранных партий всех игроков равна удвоенному числу партий:

Подставляя известные значения:

Так как $N$ должно быть целым числом, $c$ должно быть чётным.

Рассмотрим игрока, который сыграл наибольшее число партий — это Коля ($b=23$). Заметим, что поскольку в каждой партии участвуют два игрока, тот, кто сыграл больше всех партий, мог пропустить некоторые партии. Однако, если бы Коля пропустил хотя бы одну партию, то в этой партии играли Миша и Лёша, и тогда общее число партий $N$ было бы больше 23. Но из уравнения $N=(34+c)/2\text{,}$ при $c>12\text{,}$ $N>23\text{.}$ По смыслу задачи, игра закончилась, и количество партий конечно. В таких задачах обычно предполагается, что игрок, сыгравший наибольшее число партий, участвовал во всех партиях, то есть $N=b=23\text{.}$ Тогда:

Проверим: если $c=12\text{,}$ то $N=23\text{,}$ и Миша сыграл 11 партий из 23, что возможно.

Ответ: 12