Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий сыграл Лёша?

Пусть a , b , c — количество партий, сыгранных Мишей, Колей и Лёшей соответственно. По условию, a = 11 , b = 23 , c — неизвестно. Обозначим через N общее количество партий. В каждой партии участвуют два игрока, поэтому сумма сыгранных партий всех игроков равна удвоенному числу партий: a + b + c = 2N. Подставляя известные значения: 11 + 23 + c = 2N => 34 + c = 2N => N = (34+c)/(2). Так как N должно быть целым числом, c должно быть чётным. Рассмотрим игрока, который сыграл наибольшее число партий — это Коля ( b=23 ). Заметим, что поскольку в каждой партии участвуют два игрока, тот, кто сыграл больше всех партий, мог пропустить некоторые партии. Однако, если бы Коля пропустил хотя бы одну партию, то в этой партии играли Миша и Лёша, и тогда общее число партий N было бы больше 23. Но из уравнения N = (34+c)/2 , при c >12 , N >23 . По смыслу задачи, игра закончилась, и количество партий конечно. В таких задачах обычно предполагается, что игрок, сыгравший наибольшее число партий, участвовал во всех партиях, то есть N = b = 23 . Тогда: N = 23 => (34+c)/(2) = 23 => 34+c = 46 => c = 12. Проверим: если c=12 , то N=23 , и Миша сыграл 11 партий из 23, что возможно. Ответ: 12

\(12\)