Задача №14325

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную;
• за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 60 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть первая операция выполнена $x$ раз, вторая — $y$ раз.

В первой операции: 5 золотых → 7 серебряных + 1 медная. Но у Николая изначально были только серебряные, значит, он не мог выполнить первую операцию сначала. Однако он может выполнять вторую операцию (отдаёт 10 серебряных, получает 7 золотых + 1 медную), а затем первую (отдаёт 5 золотых, получает 7 серебряных + 1 медную).

Рассмотрим баланс:

Золотые: изначально 0, после операций: $7y-5x=0$ (золотых не появилось).

Медные: $x+y=60\text{.}$

Решаем систему: $7y=5x\text{,}$ $x+y=60\text{.}$

Из первого уравнения: $x=\frac{7y}{5}\text{.}$ Подставим во второе:

$$\frac{7y}{5}+y=60$$ $$\frac{12y}{5}=60$$ $$y=25$$

Тогда $x=35\text{.}$

Изменение серебряных монет: в первой операции получает 7 серебряных, во второй отдаёт 10 серебряных.

Общее изменение:

$$7x-10y=7\times 35-10\times 25=245-250=-5.$$

Значит, серебряных стало меньше на 5.

Ответ: 5