Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с двумя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

Пусть каждая страна — это вершина графа, а договор о дружбе — ребро между двумя вершинами. Тогда степень вершины равна количеству договоров, которые подписала эта страна. Из условия: 4 страны имеют степень 2 , а 6 стран имеют степень 5 . Обозначим общее число договоров (рёбер) через E . По лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер: степеней = 2E. Вычислим сумму степеней: 4 * 2 + 6 * 5 = 8 + 30 = 38. Таким образом, 2E = 38, откуда E = 19. Ответ: 19 договоров.

19