Задача №14307

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Расстояние между $A$ и $B$ — $50$ км, между $A$ и $C$ — $30$ км, между $C$ и $D$ — $25$ км, между $D$ и $A$ — $45$ км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между $B$ и $C\text{.}$

Пусть длина кольцевой дороги равна $L$ км. Поместим точки на окружность и примем точку $A$ за начало отсчёта. Координаты точек — расстояния от $A$ по часовой стрелке в км, лежащие в промежутке $[0;L)\text{.}$ Для любых двух точек расстояние — минимум разности их координат и дополнения до $L\text{.}$

Введём координаты: $A=0\text{,}$ $B=x\text{,}$ $C=y\text{,}$ $D=z\text{,}$ где $x;y;z\in [0;L)\text{.}$ Из условия:

Требуется найти $\min (|y-x|,L-|y-x|)$ — расстояние между $B$ и $C\text{.}$

Из первых уравнений: $x=50$ или $x=L-50\text{,}$ $y=30$ или $y=L-30\text{,}$ $z=45$ или $z=L-45\text{.}$ Перебором всех восьми комбинаций находим, что единственная непротиворечивая длина окружности $L=100$ км. Например, при $x=50\text{,}$ $y=30\text{,}$ $z=L-45=55$ или при $x=50\text{,}$ $y=L-30=70\text{,}$ $z=45$ все условия выполняются.

В обоих случаях расстояние между $B$ и $C\text{:}$

или

Таким образом, искомое расстояние равно 20 км.

Ответ: 20