Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

Представим страны как вершины графа, а договоры о дружбе — как рёбра. Степень вершины — количество договоров, подписанных страной. Из условия: 7 стран имеют степень 3, а 3 страны имеют степень 7. Сумма степеней всех вершин: 7 * 3 + 3 * 7 = 21 + 21 = 42. Каждый договор соединяет две страны, поэтому при подсчёте суммы степеней каждый договор учтён дважды. Следовательно, общее количество договоров равно половине суммы степеней: (42)/(2) = 21. Ответ: 21.

21