Задача №14304

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — $296\text{,}$ номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Пусть выпало $k$ листов. Каждый лист содержит $2$ страницы, поэтому выпало $2k$ страниц.

Последняя страница перед выпавшими листами — $296\text{,}$ следовательно, первая выпавшая страница — $297\text{.}$

Пусть первая страница после выпавших листов — $N\text{.}$ Тогда последняя выпавшая страница — $N-1\text{.}$

Количество выпавших страниц равно:

Это количество должно быть равно $2k$ и, следовательно, быть чётным. Значит, $N-297$ — чётное число.

По условию число $N$ записывается теми же цифрами, что и $296$ ($2;9;6$), но в другом порядке. Все возможные перестановки этих цифр: $269;296;629;692;926;962\text{.}$

Так как $N$ — первая страница после выпавших, она должна быть больше $296\text{,}$ то есть $N>296\text{.}$ Также, поскольку выпавшие страницы начинаются с нечётной ($297$) и составляют целые листы, последняя выпавшая страница ($N-1$) должна быть чётной, а значит, $N$ должна быть нечётной.

Из перестановок только $629$ является нечётным и больше $296$ ($269$ нечётное, но меньше $296$). Проверим $N=629\text{:}$

Число $332$ чётное. Количество листов:

Ответ: 166