Задача №14303

В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах с 6-й по 14-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Обозначим количество человек в квартире с номером $i$ как $a_i\text{,}$ где $1⩽a_i⩽3\text{.}$

Пусть:

• $A=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ — суммарное количество человек в квартирах с 1-й по 5-ю;
• $B=a_6+a_7+a_8+a_9$ — в квартирах с 6-й по 9-ю;
• $C=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}$ — в квартирах с 10-й по 14-ю.

Из условия:

Общее количество человек в доме: $S=A+B+C\text{.}$

Сложим уравнения:

Найдём возможные значения $B\text{.}$ Поскольку в каждой квартире живёт от 1 до 3 человек, а $B$ — сумма четырёх таких чисел, то:

Из первого уравнения: $A=12-B\text{.}$ Так как $A$ — сумма пяти чисел от 1 до 3, получаем:

Из левого неравенства: $12-B⩾5\Rightarrow B⩽7\text{.}$

Из второго уравнения: $C=22-B\text{.}$ Так как $C$ — сумма пяти чисел от 1 до 3, получаем:

Из правого неравенства: $22-B⩽15\Rightarrow B⩾7\text{.}$

Таким образом, $B⩽7$ и $B⩾7\text{,}$ значит, $B=7\text{.}$

Тогда из $S+B=34$ получаем:

Следовательно, всего в доме живёт 27 человек.

Ответ: 27