Задача №14297

Про натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось 340. Какое число было загадано?

Числа $A,B,C$ — натуральные, больше 5 и меньше 9, то есть они могут принимать значения 6, 7 или 8.

Пусть загаданное число — $x\text{.}$ По условию задачи составим уравнение:

Перепишем его в виде:

Так как $B$ и $C$ принимают значения из множества $\{6;7;8\}\text{,}$ разность $C-B$ может принимать значения от $6-8=-2$ до $8-6=2\text{.}$ Следовательно, выражение в правой части $340+(C-B)$ должно находиться в промежутке $[338;342]$ и делиться на $A\text{.}$

Рассмотрим возможные случаи для $A\text{:}$

1. Если $A=6\text{,}$ то уравнение принимает вид $6x=340+C-B\text{.}$ В промежутке $[338;342]$ только число 342 делится на 6. Тогда $340+C-B=342\text{,}$ откуда $C-B=2\text{.}$ Это возможно при $C=8$ и $B=6\text{.}$ В этом случае загаданное число $x=\frac{342}{6}=57\text{.}$

2. Если $A=7\text{,}$ то уравнение принимает вид $7x=340+C-B\text{.}$ В промежутке $[338;342]$ нет чисел, делящихся на 7 (ближайшие — 336 и 343).

3. Если $A=8\text{,}$ то уравнение принимает вид $8x=340+C-B\text{.}$ В промежутке $[338;342]$ нет чисел, делящихся на 8 (ближайшие — 336 и 344).

Таким образом, единственно возможный вариант — число 57.

Ответ: 57