Задача №14266

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 8 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 50 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа. Всего вопросов 25:

Очки: $5x-8y+0z=50\text{,}$ то есть $5x-8y=50\text{.}$ Известно, что $y⩾1\text{.}$ Выразим $x\text{:}$

Так как $x$ целое, $8y$ должно делиться на 5, значит $y$ кратно 5. Пусть $y=5t\text{,}$ тогда $x=10+8t\text{.}$ Подставим в первое уравнение:

Так как $z⩾0$ и $y⩾1\text{,}$ то $t⩾1\text{.}$

При $t=1\text{:}$ $y=5\text{,}$ $x=18\text{,}$ $z=2$ (подходит).

При $t=2\text{:}$ $y=10\text{,}$ $x=26\text{,}$ но $x$ не может быть больше 25.

Значит, единственный вариант.

Ответ: $18$