На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 35 км, между А и В — 15 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
1. Пусть длина всей кольцевой дороги равна L км. По условию расстояния измеряются по кратчайшей дуге, следовательно, для любых двух точек расстояние между ними не может превышать половины длины кольца:
d(X,Y)⩽2L2. Из условия известно, что расстояние между точками А и Б равно 35 км. Значит, 35⩽2L, откуда L⩾70.
3. Определим положение точек В и Г относительно точки А. Примем координату точки А за 0. Тогда точка В может находиться в координате 15 или L−15, а точка Г — в координате 30 или L−30.
4. Рассмотрим случай, когда В и Г находятся по одну сторону от А (например, координаты 15 и 30). Тогда расстояние между ними равно ∣30−15∣=15 км, что противоречит условию, так как d(В,Г)=25 км.
5. Следовательно, В и Г находятся по разные стороны от А. Пусть координата В=15, а координата Г=L−30. Тогда одна из дуг между ними (проходящая через А) имеет длину 15+30=45 км. Так как кратчайшее расстояние между ними равно 25 км, то дуга длиной 45 км не является кратчайшей. Значит, вторая дуга равна 25 км. Отсюда:
L−45=25⇒L=70.6. Если L=70 км, то расстояние между А и Б (35 км) составляет ровно половину длины дороги. Это означает, что точки А и Б диаметрально противоположны.
7. При А=0 и L=70 координата точки Б равна 35. Координата точки В равна 15.
8. Расстояние между Б и В по одной дуге равно ∣35−15∣=20 км, а по другой — 70−20=50 км. Кратчайшее расстояние равно 20 км.
Ответ: 20.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Задачи повышенной сложности
ФИПИ