Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x — правильные ответы, y — неправильные, z — без ответа. Всего 25 вопросов: x + y + z = 25 . Очки: 7x - 9y = 56 . Известно, что y 1 . Выразим x : x = (56 + 9y)/(7) = 8 + (9y)/(7). Чтобы x было целым, (9y)/(7) должно быть целым, т.е. 9y делится на 7 . Так как 9 и 7 взаимно просты, то y должно делиться на 7. Рассмотрим возможные значения y . При y = 7 : x = 8 + 9 = 17 , тогда z = 25 - 17 - 7 = 1 (неотрицательно). При y = 14 : x = 8 + 18 = 26 , что больше 25, невозможно. При y = 0 не подходит, так как известно, что ученик ошибся хотя бы раз. Значит, x = 17 . Ответ: 17

\(17\)