Задача №14255

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — правильные ответы, $y$ — неправильные, $z$ — без ответа.

Всего 25 вопросов: $x+y+z=25\text{.}$ Очки: $7x-9y=56\text{.}$ Известно, что $y⩾1\text{.}$

Выразим $x\text{:}$

Чтобы $x$ было целым, $\frac{9y}{7}$ должно быть целым, т.е. $9y\text{ делится на }7\text{.}$ Так как 9 и 7 взаимно просты, то $y$ должно делиться на 7.

Рассмотрим возможные значения $y\text{.}$

При $y=7\text{:}$ $x=8+9=17\text{,}$ тогда $z=25-17-7=1$ (неотрицательно).

При $y=14\text{:}$ $x=8+18=26\text{,}$ что больше 25, невозможно.

При $y=0$ не подходит, так как известно, что ученик ошибся хотя бы раз.

Значит, $x=17\text{.}$

Ответ: 17