Задача №14245

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 65 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 35 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).

Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Пусть длина всей кольцевой дороги равна $L\text{.}$ Расстояние между двумя точками на окружности по кратчайшей дуге не может превышать половины длины окружности, то есть любое заданное расстояние $d⩽\frac{L}{2}\text{.}$

1. Рассмотрим три точки: А, В и Г. Известны расстояния между ними:

• $d(А;В)=50\text{ км}\text{;}$
• $d(В;Г)=35\text{ км}\text{;}$
• $d(Г;А)=45\text{ км}\text{.}$

Заметим, что ни одно из этих расстояний не является суммой двух других (например, $50\ne 35+45$). Это означает, что точки А, В и Г расположены так, что сумма дуг между ними составляет полную длину окружности:

$$L=d(А;В)+d(В;Г)+d(Г;А)=50+35+45=130\text{ км}.$$

2. Теперь рассмотрим положение бензоколонки Б. По условию расстояние между А и Б равно 65 км. Поскольку длина всей дороги $L=130\text{ км}\text{,}$ а расстояние $65=\frac{130}{2}\text{,}$ то бензоколонка Б находится ровно на противоположной стороне кольца относительно точки А.

3. Найдём расстояние между Б и В. Пусть точка А находится в нулевой отметке (0 км). Тогда:

• Точка В находится на отметке 50 км (в одну из сторон от А).
• Точка Б находится на отметке 65 км (в ту же или противоположную сторону, так как это ровно половина круга).

Расстояние между точками Б и В по одной из дуг составит:

$$|65-50|=15\text{ км}.$$

Вторая дуга между ними будет равна $130-15=115\text{ км}\text{.}$ Так как требуется найти кратчайшее расстояние, выбираем меньшее значение.

Ответ: 15.