Задача №14235

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: $А\text{,}$ $Б\text{,}$ $В$ и $Г\text{.}$ Расстояние между $А$ и $Б$ — $75$ км, между $А$ и $В$ — $50$ км, между $В$ и $Г$ — $40$ км, между $Г$ и $А$ — $60$ км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между $Б$ и $В\text{.}$

Пусть длина кольцевой дороги равна $L\text{.}$ Поскольку расстояния измеряются по кратчайшей дуге, расстояние между любыми двумя точками не может превышать половины длины всей дороги:

$d⩽\frac{L}{2}\text{.}$

1. Из условия $d(А;Б)=75$ км следует, что $\frac{L}{2}⩾75\text{,}$ то есть $L⩾150$ км.

2. Примем положение точки $А$ за начало отсчёта ($0$ км). Тогда точка $В$ находится в положении $50$ км (так как расстояние $d(А;В)=50$ км).

3. Точка $Г$ находится на расстоянии $60$ км от $А\text{,}$ то есть её положение может быть $60$ км или $L-60$ км.

4. Проверим расстояние между $В$ ($50$ км) и $Г\text{:}$

— Если $Г$ находится в точке $60\text{,}$ то расстояние $d(В;Г)=|60-50|=10$ км, что противоречит условию ($40$ км).

— Если $Г$ находится в точке $L-60\text{,}$ то расстояние между $В$ и $Г$ по одной из дуг равно $(L-60)-50=L-110\text{.}$ Согласно условию, кратчайшая из дуг равна $40$ км. Следовательно, $L-110=40$ или $110=40$ (невозможно). Отсюда $L=150$ км.

5. Так как длина дороги $L=150$ км, а расстояние $d(А;Б)=75$ км составляет ровно половину этой длины ($150/2=75$), то точка $Б$ находится в диаметрально противоположной точке кольца относительно $А\text{,}$ то есть в точке $75$ км.

6. Найдём расстояние между $Б$ ($75$ км) и $В$ ($50$ км):

Кратчайшее расстояние по кольцу в данном случае подтверждается:
$\min (25;150-25)=25\text{.}$

Ответ: 25.