Задача №14214

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа.

Условия: $x+y+z=33\text{,}$ $7x-11y=84\text{,}$ $y⩾1\text{.}$

Выразим $z=33-x-y\text{.}$ Подставим во второе уравнение: $7x-11y=84\text{.}$

Решаем в целых неотрицательных числах:

Чтобы $x$ было целым, $11y$ должно делиться на 7. Так как 11 и 7 взаимно просты, $y$ должно быть кратно 7.

При $y=7\text{:}$

При $y=14\text{:}$

Значит, $x=23\text{.}$

Ответ: 23