Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x — число правильных ответов, y — число неправильных, z — число без ответа. Условия: x + y + z = 33 , 7x - 11y = 84 , y 1 . Выразим z = 33 - x - y . Подставим во второе уравнение: 7x - 11y = 84 . Решаем в целых неотрицательных числах: 7x = 84 + 11y => x = (84 + 11y)/(7) = 12 + (11y)/(7). Чтобы x было целым, 11y должно делиться на 7. Так как 11 и 7 взаимно просты, y должно быть кратно 7. При y = 7 : x = 12 + (77)/(7) = 12 + 11 = 23, тогда z = 33 - 23 - 7 = 3 (неотрицательно). При y = 14 : x = 12 + (154)/(7) = 12 + 22 = 34, тогда x + y = 48 > 33 — не подходит. Значит, x = 23 . Ответ: 23

\(23\)