Задача №14207

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 16 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал участник, набравший 171 очко, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа.

Условия:

$x+y+z=50\text{,}$

$9x-16y=171\text{,}$

$y⩾1\text{.}$

Выразим $z=50-x-y\text{.}$ Из второго уравнения:

откуда

Чтобы $x$ было целым, $16y$ должно делиться на 9, т.е. $y$ кратно 9.

При $y=9\text{:}$ $x=19+16=35\text{,}$ тогда $z=50-35-9=6$ (неотрицательно).

При $y=18\text{:}$ $x=19+32=51\text{,}$ но тогда $x+y=69>50$ — не подходит.

Проверяем $y=0\text{:}$ $x=19\text{,}$ но по условию хотя бы одна ошибка, поэтому не подходит.

Ответ: $35$